Question

【題目】已知橢圓，且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為，最小距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）通過橢圓的幾何意義得到橢圓的方程；（2）先考慮直線的特殊情況，和軸垂直，和軸平行，通過這兩種情況得到最終結(jié)果再證明一般情況. 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為，通過韋達(dá)定理解決即可。

（1）橢圓方程為.

（2）當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段為直徑的圓的方程為；

當(dāng)與軸平行時(shí)，以線段為直徑的圓的方程為.

故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為.

下面證明為所求：

若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明.

若直線的斜率存在，設(shè)直線， ，

由得，

，

，

，

.

∴，即以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).