Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式分別求得f（x）≥0的解集；
（2）u（x）=|x+1|-|x|，做出y=u（x）和y=x的圖象，方程f（x）=x恰有三個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化成y=u（x）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=|{x+1}|-|x|=\left\{{\begin{array}{l}{-1，x＜-1}\\{2x+1，-1≤x＜0}\\{1，x≥0}\end{array}}\right.$，
所以當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=-1＜0，不合題意；
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=2x+1≥0，解得$-\frac{1}{2}≤x＜0$；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=1＞0，符合題意．
綜上可得，f（x）≥0的解集為$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
（2）設(shè)u（x）=|x+1|-|x|，y=u（x）的圖象和y=x的圖象如圖所示．

易知y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位），與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，
從而-1＜a＜0．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式求解，函數(shù)與方程的應(yīng)用，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．