Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于、兩點，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點為，問、兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(1)利用題意確定 的值即可求得橢圓的標準方程；

(2)利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用弦長公式求得 的值，最后利用勾股定理進行計算，證得 為定值即可.

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的半焦距為．

因為點在橢圓上，所以．故．

又因為，所以， ．

所以橢圓的標準方程為: ．

（Ⅱ）設， ，線段中點為．

聯(lián)立和，得: ．

由，可得．

所以， ．

所以中點為．

弦長 ，

又直線與軸的交點，

所以．

所以 ．

所以、兩點間距離為定值．