Question

過雙曲線

x2

8

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，作與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線M、N兩點(diǎn)，若

PM

•

PN

=2b²，則b為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求雙曲線的漸近線方程，又因?yàn)閷?shí)軸平行的直線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)后，易給出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而給出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求出

PM

•

PN

，又由

PM

•

PN

=2b²，則可得b．

解答： 解：設(shè)P（x，y），則過P與實(shí)軸平行的直線為y=y₀，與雙曲線的兩條漸近線方程 y=±

b

8

x分別聯(lián)立，
解得：M（

8

b

y，y），N（-

8

b

y，y），
于是

PM

=（

8

b

y-x，0），

PN

=（-

8

b

y-x，0），
則

PM

•

PN

=x2-

8

b2

y2=8=2b²
∴b=2．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、數(shù)量積運(yùn)算和離心率計(jì)算公式，屬于中檔題．