Question

設(shè)定義在R的函數(shù)，R. 當(dāng)時(shí)，取得極大值，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

 （I）求函數(shù)的表達(dá)式；

 （II）判斷函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間上，并說(shuō)明理由；

 （III）設(shè)，（），求證：.

Answer 1

（I）.

（II）兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或.

（III）見(jiàn)解析

解析:

（I）將函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，  

    ∴ 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為奇函數(shù). 

    ∴.                       ……………………………..2分

    由題意可得，解得.

    ∴.                          ……………………………..4分

   （II）存在滿足題意的兩點(diǎn).                         ……………………………..6分

由（I）得.

假設(shè)存在兩切點(diǎn)，，且.

則.   

∵，∴或，

即或. 

從而可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或.

                                                  …………………………….9分

（III）∵當(dāng)時(shí)，，∴ 在上遞減.

 由已知得，∴，即.

                                                  ……………………………..11分

又時(shí)，；時(shí)，，

 ∴在上遞增，在上遞減.

∵，∴.  

∵，且，

∴.          ……………………………13分

∴.  ………………………..14分