Question

設拋物線C：y²=8x的焦點為F，準線為直線l，過焦點F且傾斜角為θ（θ≠

π

2

）的直線交拋物線于A，B兩點，給出下列命題：
①|AB|=

8

cos2θ

；
②

1

|FA|

+

1

|FB |

=

1

4

；
③以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；
④設點B在直線l上的射影為B₁，則點A、O、B₁三點共線．
其中正確的個數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①設出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用|AB|=x₁+x₂+p求得|AB|．
②根據(jù)拋物線的定義分別用A，B的橫坐標表示出|FA|，|FB|，代入驗證即可．
③求出線段AB的中點O即圓心的橫坐標，進而可求得O到準線的距離，與

|AB|

2

比較若相等，則說明以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
④分別表示出A，B₁的坐標，表示出OA，OB的斜率，看二者能不能相等．

解答：解：①∵θ≠

π

2

，
∴直線AB的斜率一定存在，設為k，則直線AB的方程為y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2=8x

，消去y得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
∴x₁+x₂=

4k2+8

k2

，x₁x₂=4，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

4k2+8

k2

+4=

8(1+k2)

k2

=

8(1+ sin2θ cos2θ )

sin2θ cos2θ

=

8

sin2θ

，
∴①結論錯誤．
②

1

|FA|

+

1

|FB |

=

|AB|

(x1+2)(x2+2)

=

8(1+k2) k2

16(1+k2) k2

=

1

2

，故結論②錯誤．
③AB的中點坐標O的橫坐標為

x1+x2

2

=

2k2+4

k2

，
O到準線l的距離為

2k2+4

k2

+2=

4(1+k2)

k2

=

4

sin2θ

=

1

2

|AB|，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；結論③正確．
④依題意知B₁（-2，k（x₂-2）），A點坐標（x₁，k（x₁-2）），
∴k_AO=

k(x1-2)

x1

，k_B1O=

k(x2-2)

-2

假設k_AO=k_B1O，即

k(x1-2)

x1

=

k(x2-2)

-2

，
即-2x₁+4=x₁x₂-2x₁，
即4=x₁x₂，由①知等式成立，即假設成立，
∴k_AO=k_B1O，
∴A、O、B₁三點共線．故④結論正確．
∴有2個結論正確，
故選：C．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，拋物線與直線的關系．常需要設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用設而不求的方法解決問題．