Question

【題目】如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°．現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，PQ處圍柵欄．

（1）若∠APQ=15°，AP與AQ兩處圍墻長(zhǎng)度和為100（ +1）米，求柵欄PQ的長(zhǎng)；
（2）已知AB，AC的長(zhǎng)度均大于200米，若水果園APQ面積為2500 平方米，問(wèn)AP，AQ長(zhǎng)各為多少時(shí)，可使三角形APQ周長(zhǎng)最��？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵依題意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，

∴得 ，

∵ ，

∴

（2）解：設(shè)AP=x米，AQ=y米．

則 xy=10000，

，

設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L= = ，

令x+y=t，L= 在定義域上單調(diào)增，

所以 ，當(dāng)x=y=100取等號(hào)；

所以當(dāng)AP=AQ=100米時(shí)，三角形地塊APQ的周長(zhǎng)最小

【解析】（1）依題意，∠AQP=45°，由正弦定理： ，可得 利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解PQ的值．（2）設(shè)AP=x米，AQ=y米，利用三角形面積公式可求xy=10000，進(jìn)而可求 ，設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L= = ，令x+y=t，L= 在定義域上單調(diào)增，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．