Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為CC₁的中點，AC交BD于點O，求證：A₁O⊥平面MBD．

Answer 1

分析：利用線面垂直的判定定理證明DB⊥平面A₁ACC₁ ，證得A₁O⊥DB．再用勾股定理證明A₁O⊥OM，
這樣，A₁O就垂直于平面MBD內的兩條相交直線，故A₁O⊥平面MBD．

解答：證明：連接MO．
∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴DB⊥平面A₁ACC₁．
又A₁O?平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．
在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

2

2

，
tan∠MOC=

2

2

，∴∠AA₁O=∠MOC，
則∠A₁OA+∠MOC=90°．∴A₁O⊥OM．
∵OM∩DB=O，∴A₁O⊥平面MBD．

點評：本題考查證明直線和平面垂直的方法，在其中一個平面內找出2條相交直線和另一個平面垂直．