Question

【題目】已知函數(shù)在（為自然對數(shù)的底）時取得極值且有兩個零點．

（1）求實數(shù)的取值范圍；

（2）記函數(shù)的兩個零點為，，證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意得可求，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點確定函數(shù)單調(diào)性變化規(guī)律：函數(shù)在上遞增，在上遞減，結(jié)合函數(shù)在端點處變化趨勢，確定函數(shù)有兩個零點的條件：，（2）本題實質(zhì)為極點偏移，先轉(zhuǎn)化不等式：為，由，再轉(zhuǎn)化為，由解得，從而轉(zhuǎn)化為，即．令,轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值大于零．利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，因此

試題解析：（1），

由，且當時，，當時，，

所以在時取得極值，所以，

所以，，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，

時；時，，有兩個零點，，

故，；

（2）不妨設(shè)，，由題意知，

則，，

欲證，只需證明：，只需證明：，

即證：，

即證，設(shè)，則只需證明：，

也就是證明：．

記，，∴，

∴在單調(diào)遞增，

∴，所以原不等式成立，故得證．