Question

8．已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，且∠ABC=90°，以AC為折痕使得折疊后的圖形中平面DAC⊥ABC．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）求四面體ABCD的外接球的體積；
（3）在棱AD上是否存在點P，使得AD⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點E，連CE，證明DC⊥AC，即可證明DC⊥平面ABC；
（2）確定四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點E，即可求四面體ABCD的外接球的體積；
（3）利用反證法判斷在棱AD上是否存在點P，使得AD⊥平面PBC．

解答 （1）證明：取AD的中點E，連CE，由條件可知四邊形ABCE是正方形，
三角形CED是等腰直角三角形，∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+45°=90°
即DC⊥AC…（2分）
∵平面DAC⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC…（4分）
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB
又∵AB⊥BC，BC∩DC=C，
∴AB⊥平面DBC，∴AB⊥DB，
即∠ABD=∠ACD=90°，∴四面體ABCD的外接球的球心是AD的中點E…（6分）
即四面體ABCD的外接球的半徑R=1，故四面體ABCD的外接球的體積為$\frac{4π}{3}$…（8分）
（3）解：若在棱AD上存在點P，使得AD⊥平面PBC，則AD⊥BC，
又DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面ADC…（10分）
從而BC⊥AC，這與∠ACB=45°矛盾
所以在棱AD上不存在點P，使得AD⊥平面PBC…（12分）

點評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查四面體ABCD的外接球的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．