Question

如圖一簡單幾何體的一個面ABC內接于圓O，G，H分別是AE，BC的中點，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC．
（1）求證：GH∥平面ACD；
（2）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，試求該幾何體的體積V．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點F，易證四邊形CHGF為平行四邊形，由線面平行的判斷可得；（2）由DC⊥平面ABC，可得DC⊥BC，由直徑所對的圓周角為直角可得BC⊥AC，易證DE⊥平面ACD，進而可得結論；（3）把幾何體化為兩個三棱錐來求即可的答案．

解答：證明：（1）取AD的中點F，連接GF，CF，在三角形ADE中，GF為中位線，
可得GF∥AD，且GF=

1

2

AD，故GF∥CH，且GF=CH，四邊形CHGF為平行四邊形，
故GH∥CF，由CF，GH分別在平面ACD內外，
故GH∥平面ACD；
（2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，由直徑所對的圓周角為直角可得BC⊥AC，
由CD∩AC=C，故BC⊥平面ACD，即DE⊥平面ACD，又DE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD；
（3）由題意可得：AC=

22-12

=

3

，tan∠EAB=

EB

AB

=

3

2

，EB=

3

，
V=V_E-ACD+V_E-ABC=

1

3

×S_△ACD×DE+

1

3

S_△ABC×EB
=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1+

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

=1

點評：本題為線面位置關系的綜合應用，涉及線面平行，面面垂直和體積公式，屬中檔題．