Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為.直線與軸正半軸和軸分別交于點、，與橢圓分別交于點、，各點均不重合且滿足 ，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，試證明:直線過定點并求此定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)方程為，利用向量的坐標(biāo)運算，求得，，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，代入求得直線的方程，即可得出結(jié)論.

（1）設(shè)橢圓方程為，

由題意知，且離心率，解得，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，，，，

設(shè)方程為，

由，得，

所以，由題意知，所以，

同理由，可得，

，

聯(lián)立，整理得，

則，且有，，

代入，得，解得，

由，所以，可得的方程為，

此時直線過定點，即為定點.