Question

在等腰梯形中，，，，是的中點(diǎn)．將梯形繞旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)題意,由于即由已知可知 平面平面,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理得到.

(2)結(jié)合題意,得到面平面,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image006.png">平面,所以 平面 從而得到證明.

(3)

【解析】

試題分析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image010.png">，是的中點(diǎn)

所以，又

所以四邊形是平行四邊形，所以

又因?yàn)榈妊�梯形�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image017.png">，

所以 ，所以四邊形是菱形，所以

所以，即

由已知可知 平面平面，

因?yàn)?平面平面

所以平面                  4分

（2）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image014.png">，，

 

所以平面平面

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image006.png">平面,所以 平面              8分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081212195008027017/SYS201308121220203508453943_DA.files/image024.png">平面,同理平面，建立如圖如示坐標(biāo)系

設(shè)，

則,, ，，       9分

則，

設(shè)平面的法向量為，有 ，得  

設(shè)平面的法向量為，有

得                                    12分

所以                                 13分

由圖形可知二面角為鈍角

所以二面角的余弦值為．                       14分

考點(diǎn)：平行和垂直的證明以及二面角的平面角

點(diǎn)評：主要是考查了線面平行以及面面平行的性質(zhì)定理的運(yùn)用,以及二面角的求解,屬于基礎(chǔ)題.