Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁＝a，a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，n∈N^*.

(1)記b_n＝S_n－3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)若a_n＋1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

解　(1)依題意，S_n＋1－S_n＝a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，即S_n＋1＝2S_n＋3ⁿ，

由此得S_n＋1－3^n＋1＝2(S_n－3ⁿ)，即b_n＋1＝2b_n，

∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)b₁＝a－3，公比為2的等比數(shù)列．

因此，所求通項(xiàng)公式為b_n＝S_n－3ⁿ＝(a－3)×2^n－1，n∈N^*.

(2)由(1)知，S_n＝3ⁿ＋(a－3)×2^n－1，n∈N^*，

于是，當(dāng)n≥2時(shí)，

a_n＝S_n－S_n－1＝3ⁿ＋(a－3)×2^n－1－3^n－1－(a－3)×2^n－2＝2×3^n－1＋(a－3)2^n－2，

a_n＋1－a_n＝4×3^n－1＋(a－3)×2^n－2

又a₂＝a₁＋3>a₁，

綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)．