Question

已知函數(shù)，其中為實數(shù).

(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；

(2)若對一切的實數(shù)，有恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）在區(qū)間上最小值為，最大值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，，求出函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，判斷在的單調(diào)性，即可求出函數(shù)最大值和最小值；

（2）由題目條件得：對任意的都成立，后按，，三種情況，對進行分類討論去絕對值，能夠求出的取值范圍.

（1）當(dāng)時，，

令，得或，

令，得或，

令，得，

在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

；；；

.

在區(qū)間上最小值為，最大值為

（2）由條件有：，

①當(dāng)時，．

②當(dāng)時，，即在時恒成立

因為，當(dāng)時等號成立．

所以，即

③當(dāng)時，，即在時恒成立，

因為 ，當(dāng)時等號成立．

所以，即

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；函數(shù)的最值；函數(shù)的恒成立問題.