Question

已知正方形ABCD,E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,如圖所示.記二面角ADEC的大小為θ(0＜θ＜π).

(1)證明BF∥平面ADE;

(2)若△ACD為正三角形,試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上,證明你的結(jié)論,并求角θ的余弦值.

Answer 1

(1)證明:E、F分別是正方形ABCD的邊AB、CD的中點(diǎn),

∴EB∥FD,且EB=FD.

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

∴BF∥ED.

∵ED平面AED,而BF平面AED,

∴BF∥平面AED.

(2)解析一:一點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE,垂足為G,連結(jié)GC、GD.

∵△ACD為正三角形,

∴AC=AD,

∴GC=GD,

∴G在CD的垂直平分線上.

又∵EF是CD的垂直平分線,

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)G作GH⊥ED,垂足為H,連結(jié)AH,則AH⊥DE,

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,連結(jié)AF.

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.∴GH=.

∴cosθ=.

解析二:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD的中點(diǎn),

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵AG′平面AEF,

∴CD⊥AG′.

又∵AG′⊥EF,且CD∩EF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,

∴AG′⊥平面BCDE.

∴G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G.

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)G作GH⊥ED,垂足為H,連結(jié)AH,則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角ADEC的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a.

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DH=AD·AE.

∴AH=.

∴GH=.∴cosθ==.

解析三:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

連結(jié)AF,在平面AEF內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AG′⊥EF,垂足為G′.

∵△ACD為正三角形,F為CD中點(diǎn),

∴AF⊥CD.

又∵EF⊥CD,

∴CD⊥平面AEF.

∵CD平面BCDE,

∴平面AEF⊥平面BCDE.

又∵平面AEF∩平面BCDE=EF,AG′⊥EF,

∴AG′⊥平面BCDE,即G′為A在平面BCDE內(nèi)的射影G,

∴點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

過(guò)G作GH⊥DE,垂足為H,連結(jié)AH,則AH⊥DE.

∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角,即∠AHG=θ.

設(shè)原正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a.

在折后圖的△AEF中,AF=a,EF=2AE=2a.

∴△AEF為直角三角形,AG·EF=AE·AF.

∴AG=a.

在Rt△ADE中,AH·DE=AD·AE.

∴AH=.

∴GH=.∴cosθ=.