Question

設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m|m>1},f(x)=log₃(x²－4mx+4m²+m+) 

(1)證明： 當(dāng)m∈M時(shí)，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則m∈M。 

(2)當(dāng)m∈M時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值。

(3)求證： 對每個(gè)m∈M,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1。

Answer 1

(1) 證明略(2) 當(dāng)x=m時(shí)， f(2m)=log₃(m+)為最小值。

 (3)證明略

解析:

先將f(x)變形： f(x)=log₃［(x－2m)²+m+］,

當(dāng)m∈M時(shí)，m>1,∴(x－m)²+m+>0恒成立，

故f(x)的定義域?yàn)镽。

反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x²－4mx+4m²+m+>0,令Δ＜0,即16m²－4(4m²+m+)＜0,解得m>1,故m∈M。

(2)解析： 設(shè)u=x²－4mx+4m²+m+,

∵y=log₃u是增函數(shù)，∴當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小。

而u=(x－2m)²+m+,

顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,

此時(shí)f(2m)=log₃(m+)為最小值。

(3)證明： 當(dāng)m∈M時(shí)，m+=(m－1)+ +1≥3,

當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號成立。

∴l(xiāng)og₃(m+)≥log₃3=1。