Question

某工廠生產(chǎn)A，B兩種元件，已知生產(chǎn)A元件的正品率為75%，生產(chǎn)B元件的正品率為80%，生產(chǎn)1個元件A，若是正品則盈利50元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)1個元件B，若是正品則盈利40元，若是次品則虧損5元．
（Ⅰ）求生產(chǎn)5個元件A所得利潤不少于140元的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為生產(chǎn)1個元件A和1個元件B所得總利潤，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)的5個元件A中有正品n個，由題意得50n-10（5-n）≥140，求出n=4或n=5，由此能求出“生產(chǎn)5個元件A所得利潤不少于140元”的概率．
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為90，45，30，-15，分別求出P（X=90），P（X=45），P（X=30），P（X=-15），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)生產(chǎn)的5個元件A中有正品n個，
由題意得50n-10（5-n）≥140，
解得n≥

19

6

，∵n≤5，∴n=4或n=5，
設(shè)“生產(chǎn)5個元件A所得利潤不少于140元”為事件A，
則P（A）=

C

4 5

×(

3

4

)4×

1

4

+(

3

4

)5=

81

128

．
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為90，45，30，-15，
P（X=90）=

3

4

×

4

5

=

3

5

，
P（X=45）=

3

4

×

1

5

=

3

20

，
P（X=30）=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
P（X=-15）=

1

4

×

1

5

=

1

20

，
∴X的分布列為：

X	90	45	30	-15
P	3 5	3 20	1 5	1 20

∴EX=90×

3

5

+45×

3

20

+30×

1

5

+（-15）×

1

20

=66．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．