Question

16．已知P為橢圓$\frac{x^2}{8}$+$\frac{y^2}{2}$=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（-2，1），B（2，-1），設(shè)直線AP和BP分別與直線x=4交于M、N兩點(diǎn)，若△ABP與△MNP的面積相等，則|OP|的值為$\frac{\sqrt{107}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），N（4，t），M（4，s），設(shè)m，n＞0，代入橢圓方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離，再由三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，運(yùn)用三角形的面積公式，化簡(jiǎn)整理，解方程可得m，n，再由兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P（m，n），N（4，t），M（4，s），設(shè)m，n＞0，
即有$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{{n}^{2}}{2}$=1，①
直線AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x，
P到AB的距離為d=$\frac{|m+2n|}{\sqrt{5}}$，
△PAB的面積為S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5}$•$\frac{|m+2n|}{\sqrt{5}}$=|m+2n|，
由A，M，P共線，可得$\frac{s+1}{2}$=$\frac{n+1}{m-2}$，
即有s=$\frac{2n-m+4}{m-2}$，
由B，N，P共線，可得$\frac{t-1}{6}$=$\frac{n-1}{m+2}$，
即有t=$\frac{m+6n-4}{m+2}$，
即有|s-t|=|$\frac{（m+2n）（8-2m）}{{m}^{2}-4}$|，
則△PMN的面積為$\frac{1}{2}$（4-m）•|$\frac{（m+2n）（8-2m）}{{m}^{2}-4}$|，
由△ABP與△MNP的面積相等，
可得（4-m）²=m²-4，②
解得m=$\frac{5}{2}$，n²=$\frac{14}{32}$，
則|OP|=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{14}{32}}$=$\frac{\sqrt{107}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{107}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查三角形的面積公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．