Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-a|，
（Ⅰ）若a=4，求f（x）≤x的解集；
（Ⅱ）若f（x+1）＞|2-a|對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：通過討論2x-4的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集；法二：根據(jù)題意得出x≥0，再去絕對值即可，法三：根據(jù)題意得出x≥0，兩邊平方解出即可；
（Ⅱ）法一：問題轉(zhuǎn)化為f（x+1）＞f（1）對?x∈（0，+∞）恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性問題，求出a的范圍即可；法二：等價于（2x+2-a）²＞（2-a）²對?x∈（0，+∞）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）若a=4，則f（x）≤x可化為|2x-4|≤x，
法1：即$\left\{\begin{array}{l}2x-4≤0\\ 4-2x≤x\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}2x-4≥0\\ 2x-4≤x\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集為$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
法2：即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 2x-4≤x\\ 2x-4≥-x\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集為$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
法3：即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\{（{2x-4}）^2}≤{x^2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 3{x^2}-16x+16≤0\end{array}\right.$解得$\frac{4}{3}≤x≤4$，
所以f（x）≤x的解集為$\left\{{x|\frac{4}{3}≤x≤4}\right\}$；
（Ⅱ）法1：f（x+1）＞|2-a|對?x∈（0，+∞）恒成立
即f（x+1）＞f（1）對?x∈（0，+∞）恒成立，
又因為f（x）=|2x-a|在$（{-∞，\frac{a}{2}}]$上單調(diào)遞減，在$[{\frac{a}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增，
所以$\frac{a}{2}≤1$解得a≤2，
所以實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]；
法2：f（x+1）＞|2-a|對?x∈（0，+∞）恒成立
即|2x+2-a|＞|2-a|對?x∈（0，+∞）恒成立
等價于（2x+2-a）²＞（2-a）²對?x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜2+x對?x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤2…（9分）
所以實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．