Question

9．設(shè)定義域?yàn)閇x₁，x₂]的函數(shù)y=f（x）的圖象的為C．圖象的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，向量$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂），且滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又設(shè)向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$．現(xiàn)定義函數(shù)y=f（x）在[x₁，x₂]上“可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”是指|$\overrightarrow{MN}$|≤k恒成立，其中k＞0為常數(shù)．給出下列結(jié)論：
（1）A、B、N三點(diǎn)共線；
（2）直線MN的方向向量可以為$\overrightarrow{a}$=（0，1）；
（3）函數(shù)y=5x²在[0，1]上“可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”；
（4）若函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$在[1，2]上“可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”，則k≥$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．
其中所有正確結(jié)論的序號是（1），（2），（4）．

Answer 1

分析 對于（1）根據(jù)向量共線即可判斷，對于（2）說明M，N的橫坐標(biāo)相同即可．
對于（3），（4）先得出M、N橫坐標(biāo)相等，再將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．

解答 解：由向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，得$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}$=λ（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），即$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BA}$，故（1）成立；
∵向量$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$=（x₂，y₂），且滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴向量的橫坐標(biāo)為λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∵$\overrightarrow{OM}$=（x，y），滿足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），
∴MN∥y軸，
∴直線MN的方向向量可以為$\overrightarrow{a}$=（0，1），故（2）成立，
對于函數(shù)y=5x²在[0，1]上，易得A（0，0），B（1，5），
所以M（1-λ，5（1-λ）²），N（1-λ，5（1-λ）），
從而|$\overrightarrow{MN}$|=$\sqrt{{5}^{2}（1-λ）^{2}-（1-λ）^{2}}$=$\sqrt{25[（λ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]^{2}}$≤$\frac{5}{4}$，
故函數(shù)y=5x²在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)下線性近似”，（3）不成立，
對于函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$在[1，2]上，易得A（1，0），B=（2，$\frac{3}{2}$），
∴直線AB方程為y=$\frac{3}{2}$（x-1）
∴|$\overrightarrow{MN}$|=y₁-y₂=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，取等號）
∵x∈[1，2]，
∴x=$\sqrt{2}$時(shí)，
|$\overrightarrow{MN}$|的最大值為$\frac{3}{2}$$-\sqrt{2}$，
∴則k≥$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．故（4）正確．
故答案為：（1）（2）（4）

點(diǎn)評 本題考查向量知識的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，解答的關(guān)鍵是將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)注意恒成立問題的處理策略．