Question

6．已知函數(shù)f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期為π，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{7}{4}$，最小值為$\frac{3}{4}$．
（1）求ω、a、b的值；
（2）指出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），求在[0，2π]內的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出a和b，由周期求出ω，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調區(qū)間，求得出f（x）的單調遞增區(qū)間．
（3）由題意可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$]，方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），即 sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2（a-$\frac{5}{4}$），分類討論a的范圍，再結合函數(shù)的圖象的對稱性求得方程f（x）=a的實數(shù)根之和．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b（x∈R，a＞0，ω＞0）的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的最大值為a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{7}{4}$，最小值為-a+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{3}{4}$，求得 a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴函數(shù)f（x）=asin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{a}{2}$+b=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
（2）根據(jù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）在[0，2π]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{25π}{6}$]，方程f（x）=a（0.75＜a＜1.5），
即$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$=a，即 sin（2x+$\frac{π}{6}$）=2（a-$\frac{5}{4}$），
分類討論如下：
當a∈（0.75，1.25）時，方程f（x）=a的實數(shù)根有4個，它們的和為2（$\frac{2π}{3}$+$\frac{5π}{3}$）=$\frac{14π}{3}$；
當a∈（1.25，1.5）時，方程f（x）=a共有4個根，它們的和為2（$\frac{π}{6}$+$\frac{7π}{6}$）=$\frac{8π}{3}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出a和b，由周期求出ω，正弦函數(shù)的單調區(qū)間，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．