Question

在數(shù)列{}中，，并且對任意都有成立，令．

（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式；

（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項和為，證明：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（I）、當n=1時，先求出b₁=3，當n≥2時，求得b _n+1與b_n的關系即可知道b_n為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；

（II）根據(jù)（I）中求得的b_n的通項公式先求出數(shù)列{}的表達式，然后求出T_n的表達式，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明<T_n＜

解：（Ⅰ）當n=1時，,當時，

由得所以------------4分

所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項公式為-------------5分

（Ⅱ）------------------------------------7分

-------------------11分

可知Tn是關于變量n的增函數(shù)，當n趨近無窮大時，的值趨近于0，

當n=1時Tn取最小值，故有----------------14分

考點：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結合，考查了學生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題

點評：解決該試題的關鍵是運用整體的思想來表示出遞推關系，然后進而利用函數(shù)的單調(diào)性的思想來放縮得到證明。