Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn)A（ ， ），B（ ， ）． （Ⅰ）求 ， 夾角的余弦值；
（Ⅱ）已知C（1，0），記∠AOC=α，∠BOC=β，求tan 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，單位長(zhǎng)度為半徑的圓上有兩點(diǎn) A（ ， ），B（ ， ），
∴ =（ ， ）， =（ ， ），| |=| |=1，
∴ ， 夾角的余弦值cos∠AOB= = = ．
（Ⅱ）設(shè)∠AOB的平分線OD交單位圓于點(diǎn)D，則∠COD= ，
從而D（cos ，sin ），∴ =（cos ，sin ），
連接AB，可知OD⊥AB，即 =0．
∴ = ﹣ =（﹣ ， ），
∴（cos ，sin ）（﹣ ， ）=﹣ cos + sin =0，
∴tan = ．
【解析】（Ⅰ）先求出向量 ， 的坐標(biāo)，再跟它們的夾角的余弦值cos∠AOB= ，計(jì)算求得結(jié)果．（Ⅱ）設(shè)∠AOB的平分線OD交單位圓于點(diǎn)D，則∠COD= ，求得 的坐標(biāo)，根據(jù) =0，求得tan 的值．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角和兩角和與差的正切公式是解答本題的根本，需要知道設(shè)、都是非零向量，，，是與的夾角，則；兩角和與差的正切公式：．