Question

設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、），向量，，且=8.

   （I）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

   （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在直線，使得四邊形為矩形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（I）因?yàn)?sub>=8，所以.

       所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是到定點(diǎn)，的距離之和為8的橢圓.

       則曲線的方程是.

   （Ⅱ）因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)N（0，2），若直線的斜率不存在，則的方程為，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A、B為橢圓的頂點(diǎn).

       由，則與重合，與OAPB為四邊形矛盾.5分

       若直線的斜率存在，設(shè)方程為，，.

       由得.

       恒成立.

       由根與系數(shù)關(guān)系得：，.

       因?yàn)?sub>，所以四邊形為平行四邊形.

       若存在直線使四邊形為矩形，則.

       所以.

       所以.

       即.

       化簡(jiǎn)得： . 與斜率存在矛盾.   

       則不存在直線，使得四邊形為矩形.