Question

（1）已知展開式中前3項系數(shù)的和為129，這個展開式中是否含有常數(shù)項和一次項？如果沒有，請說明理由；如有，請求出來．
（2）設(shè)，
①用q和n表示A_n；
②求證：當(dāng)q充分接近于1時，充分接近于．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得展開式的通項公式，根據(jù)展開式中前3項系數(shù)的和為129，求得n的值，令x的冪指數(shù)等于零，自然數(shù)r無解，可得展開式中無常數(shù)項．令x的冪指數(shù)等于1，解得自然數(shù)r=6，由此可得展開式的一次項．
（2）①先求得 a_n=1+q+q²+…+q^n-1=，可得A_n =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]，再利用二項式系數(shù)的性質(zhì)化簡為[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②由①求得 ，當(dāng)q充分接近于1時，接近于0，由二項式定理知充分接近于，可得充分接近，命題得證．
解答：解：（1）二項式的展開式的通項公式為 T_r+1=••2^r•=•，
展開式中前3項系數(shù)的和為 ++=129，解得n=8．
故通項公式為 T_r+1=•，令 =0，自然數(shù)r無解，故展開式中沒有常數(shù)項．
令 =1，解得自然數(shù)r=6，故有一次項，且一次項為1792x．
（2）①因為q≠1，所以，a_n=1+q+q²+…+q^n-1=．
于是，A_n=++…+ C_nⁿ =[（C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）-（C_n¹q+C_n²q²+…+C_nⁿqⁿ）]
={（2ⁿ-1）-[（1+q）ⁿ-1]}=[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．
②∵，∴，
當(dāng)q充分接近于1時，接近于0，由二項式定理知充分接近于，
所以充分接近，故充分接近，命題得證．
點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．