Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，且，

⊙與該橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與⊙相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求證：；

（3）過(guò)點(diǎn)的直線與⊙相切，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，試探究的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】分析：（1）直接根據(jù)已知條件得到a,b,c的方程組，解之即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)先聯(lián)立直線的方程和橢圓方程得到韋達(dá)定理，再證明即證.(3) 猜想再證明.

詳解：（1）⊙與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，公共點(diǎn)為或，

若公共點(diǎn)為時(shí)，則，又，

解得，與矛盾，故公共點(diǎn)為.

，又.

反之，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立解得滿足條件.

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2），設(shè)過(guò)的直線，聯(lián)立，得.

設(shè)，則，又，

.

由與⊙相切得

，即.

（3）猜：.證明如下：由（2）得.

.