Question

4．在平面直角坐標系中，△ABC滿足：∠C=90°，AC=2，BC=1，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A從原點開始在x軸的正半軸上運動時，點C隨著在y軸上運動．
（1）當A在原點時，求原點O到點B的距離OB；
（2）當OA=OC時，求原點O到點B的距離OB；
（3）求原點O到點B的距離OB的最大值，并確定此時圖形應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，直接由三角形中的勾股定理得答案；
（2）結合圖形，利用余弦定理求解；
（3）取AC中點D，連接OD，BD，則BD=$\sqrt{2}$，OD=1，利用三角形中兩邊之和大于第三邊可得當O，D，B共線時，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$最大，并進一步求得此時圖形應滿足什么條件．

解答 解：（1）當A在原點時，原點O到點B的距離OB=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$；

（2）當OA=OC時，∠OCB=135°，OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$，BC=1，
由余弦定理可得：OB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}-2×1×\sqrt{2}cos135°}$=$\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$；

（3）取AC中點D，連接OD，BD，則BD=$\sqrt{2}$，OD=1，
當O，D，B不共線時，OB＜OD+BD=1+$\sqrt{2}$，
當O，D，B共線時，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$，此時OB最大，
由CE=CB=1，可知∠CEB=45°，
又OE=CE，可得$∠ACO=\frac{45°}{2}=22.5°$．

點評 本題考查兩點間的距離公式的應用，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．