Question

【題目】如圖，過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于，當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)：

（1）求的值；

（2）若直線(xiàn)在軸上的截距時(shí)，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得．由，傾斜角互補(bǔ)可知，即，由，代入得；（2）利用點(diǎn)差法求得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算面積，利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值為．

試題解析：

（1）由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，得，

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，

由，傾斜角互補(bǔ)可知，即，

由，代入得．

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，由，得，

由（1）得，將其代入上式得．

因此設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，消去得，

由，得，這時(shí)，

，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

所以，

令，則由，得或，

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，

故的最大值為，故面積的最大值為．