Question

已知函數f(x)=1-

1

x2

．
（Ⅰ）證明函數f（x）為偶函數；
（Ⅱ）用函數的單調性定義證明f（x）在（0，+∞）上為增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函數的定義即可證明；
（Ⅱ）設0＜x₁＜x₂，根據增函數的定義只需通過作差證明f（x₂）＞f（x₁）；

解答：證明：（Ⅰ）由已知，函數f（x）的定義域為D={x∈R|x≠0}．
設x∈D，則-x∈D，f(-x)=1-

1

(-x)2

=1-

1

x2

=f(x)．
所以函數f（x）為偶函數．
（Ⅱ）設x₁，x₂是（0，+∞）上的兩個任意實數，且x₁＜x₂，
則△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=1-

1

x 2 2

-(1-

1

x 2 1

)
=

1

x 2 1

-

1

x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

x 2 1 x 2 2

=

(x2-x1)(x2+x1)

x 2 1 x 2 2

．
因為0＜x₁＜x₂，所以x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，
所以△y＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決該類問題的基本方法．