Question

已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．

求證：l⊥α

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO = BO = CO．設(shè)l經(jīng)過(guò)O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中， ∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC， ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC．取AB中點(diǎn)D．連結(jié)OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB， ∵ ∴ AB⊥平面POD ∵ PO平面POD． ∴ PO⊥AB． 同理可證  PO⊥BC ∵ ，， ∴ PO⊥α，即l⊥α 若l不經(jīng)過(guò)O時(shí)，可經(jīng)過(guò)O作∥l．用上述方法證明⊥α， ∴ l⊥α． 證法二：采用反證法 假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O． 同證法一，得到PA = PB = PC． 過(guò)P作于，則，O是△ABC的外心．因?yàn)?i>O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個(gè)外心，這是不可能的． ∴ 假設(shè)l不和α垂直是不成立的． ∴ l⊥α 若l不經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，過(guò)O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α， ∴ l⊥α