Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），向量$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，-cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，從而得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[k$π+\frac{π}{3}$，k$π+\frac{5π}{6}$]，k∈Z；…6分
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，1]…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．