Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P為面ADD1A1的對角線AD1的中點(diǎn)．PM⊥平面ABCD交AD與M，MN⊥BD于N．

（1）求異面直線PN與A1C1所成角的大小；（結(jié)果可用反三角函數(shù)值表示）
（2）求三棱錐P﹣BMN的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)P為面ADD1A1的對角線AD1的中點(diǎn)，且PM⊥平面ABCD，

∴PM為△ADD1的中位線，得PM=1，

又∵M(jìn)N⊥BD，

∴ ，

∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，

∴MN∥AC，

又∵A1C1∥AC，∠PNM為異面直線PN與A1C1所成角，

在△PMN中，∠PMN為直角， ，

∴ ．

即異面直線PN與A1C1所成角的大小為

（2）解： ， ，

代入數(shù)據(jù)得三棱錐P﹣BMN的體積為

【解析】（1）由已知易得M點(diǎn)為AD中點(diǎn)，MN//A1C1，∠PNM即為所求異面直線所求角或其補(bǔ)角，再在三角形PNM中求解.
（2） VP BMN = PM MN BN，代入數(shù)據(jù)即得三棱錐P﹣BMN的體積.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．