Question

已知函數(shù)f(x＋1)＝x²－1，x∈[－1，3]，求f(x)的表達(dá)式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：函數(shù)是一類特殊的對應(yīng)，已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－1，即知道了x＋1的象是x2－1，求出x的象，即是f(x)的表達(dá)式．求解f(x)的表達(dá)式本題可用“配湊法”或“換元法”． 　　解法一：(配湊法)∵f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2(x＋1)， 　　∴f(x)＝x2－2x． 　　又x∈[－1，3]時，(x＋1)∈[0，4]， 　　∴f(x)＝x2－2x，x∈[0，4]． 　　解法二：(換元法)令x＋1＝t，則x＝t－1，且由x∈[－1，3]知t∈[0，4]， 　　∴由f(x＋1)＝x2－1，得f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t∈[0，4]． 　　∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－2x，x∈[0，4]．

提示：

已知函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式，求f(x)的表達(dá)式，解決此類問題一般有兩種思想方法，一種是用配湊的方法，一種是用換元的方法． 　　所謂“配湊法”即把已知的f[g(x)]配湊成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，而后將g(x)全用x取代，化簡得要求的f(x)的表達(dá)式； 　　所謂“換元法”即令已知的f[g(x)]中的g(x)＝t，由此解出x，即用t的表達(dá)式表示出x，后代入f[g(x)]，化簡成最簡式． 　　需要注意的是，無論是用“配湊法”還是用“換元法”，在求出f(x)的表達(dá)式后，都需要指出其定義域，而f(x)的定義域即x的取值范圍應(yīng)和已知條件f[g(x)]中g(shù)(x)的范圍一致，所以說求f(x)的定義域就是求函數(shù)g(x)的值域．