Question

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上, 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),且橢圓經(jīng)過點(diǎn), ,拋物線過點(diǎn).

（Ⅰ）求、的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件:

①過的焦點(diǎn);②與交不同兩點(diǎn)、且滿足.

若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為,拋物線（2）或.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓方程以及拋物線方程，解方程組可得.（2）先設(shè)M,N坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積化簡，設(shè)直線方程代入化簡，最后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡，解得直線斜率，即得直線方程.

試題解析：解:（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓,拋物線

則和

解得.

所以橢圓的方程為,拋物線.

（Ⅱ）依題意知,所以設(shè)直線方程為: ,

由得,顯然.

則.

因?yàn)?/span>且,

所以

解得.

所以直線的方程為: 即或.