Question

設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)(b＞a＞0)，試判斷F(x)=()^f(x)-x在區(qū)間［-b,-a］上的單調(diào)性，并加以證明.

Answer 1

解：∵f(x)是偶函數(shù),且在［a,b］上單調(diào)遞增,

∴f(x)在［-b,-a］上單調(diào)遞減,

f(x)-x在［-b,-a］上單調(diào)遞減.

故F(x)=()^f(x)-x在［-b,-a］上單調(diào)遞增.

證明：設(shè)-b≤x₁＜x₂≤-a,a≤-x₂＜-x₁≤b,

∴=

=

=.

∵f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增,f(-x₁)＞f(-x₂),

∴f(-x₁)-f(-x₂)+x₂-x₁＞0.

∴0＜＜1.

∴＜1.故F(x₁)＜F(x₂).

∴F(x)為［-b,-a］上的增函數(shù).