Question

設P1，P2，…，Pj為集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j為正整數(shù)．記aij為滿足P1∩P2∩…∩Pj＝的有序子集組(P1，P2，…，Pj)的個數(shù)．

（1）求a22的值；

（2）求aij的表達式．

Answer 1

1）由題意得P1，P2為集合P＝{1，2}的子集，

   因為P1∩P2＝，

     所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3種情形：

      1P1，且1 P2；1P1，且1 P2；1P1，且1P2；

        同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3種情形，

     根據(jù)分步乘法原理得，a22＝3×3＝9；                       

  （2）考慮P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：

         1不屬于P1，P2，…，Pj中的任何一個，共C種；

         1只屬于P1，P2，…，Pj中的某一個，共C種；

         1只屬于P1，P2，…，Pj中的某兩個，共C種；

         ……

      1只屬于P1，P2，…，Pj中的某(j－1)個，共C種，

    根據(jù)分類加法原理得，元素“1”共有C＋C＋C＋…＋C＝2－1種情形，

同理可得，集合P＝{1，2，…，i}中其它任一元素均有(2－1)種情形，

         根據(jù)分步乘法原理得，aij＝(2－1)i．