Question

．已知函數(shù)，若存在使得恒成立，則稱是的一個(gè)“下界函數(shù)” ．

（I）如果函數(shù)（為實(shí)數(shù)）為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求的取值范圍；

（II）設(shè)函數(shù)，試問函數(shù)是否存在零點(diǎn)，若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）   ；（Ⅱ）函數(shù)不存在零點(diǎn).

【解析】（I）本小題實(shí)質(zhì)是恒成立，即恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)的最小值即可.

(II)在（I）的基礎(chǔ)上，可知，

,然后再構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值為,從而可知,從而證明F（x）無零點(diǎn).

（Ⅰ）恒成立，，，     ……………2分

令，則，                   ……………4分

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，                                  ……………6分

                          ……………7分

（Ⅱ）由（I）知，①，

，                ……………10分

令，則，                       ……………12分

則時(shí)，， 上是減函數(shù)，時(shí)，，

上是增函數(shù)，

②，                                     ……………14分

，①②中等號(hào)取到的條件不同，，函數(shù)不存在零點(diǎn).                         ……………15分