Question

（本小題12分）

     如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，

側(cè)面底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面ABCD；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若二面角D—PA—O的余弦值為，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

（本小題12分）

     如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=2CD=2，PB=PC，

側(cè)面底面ABCD，O是BC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面ABCD；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）若二面角D—PA—O的余弦值為，求PB的長(zhǎng)．

（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>，是的中點(diǎn)，

所以，

又側(cè)面PBC⊥底面ABCD，平面，

面PBC底面ABCD，

所以平面．     

（Ⅱ）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

     設(shè),則，，

，

      因?yàn)?sub>，所以，

       即．                            

（Ⅲ）解：設(shè)平面和平面的法向量分別為，

 注意到，，，

 由 ，令得，，

 由令得，，

  所以，

解之得，所以為所求．