Question

函數(shù)f（x）=ax（x-1）²（a≠0）有極大值

8

27

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，2]都有f（x）＜k²-3k成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3ax²-4ax+a=a（3x-1）（x-1），由此利用導數(shù)性質求出f（x）=2x（x-1）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x（x-1）²．f′（x）=6x²-8x+2=2（3x-1）（x-1），由此利用導數(shù)性質推導出f（x）_最大值=f（2）=4＜k²-3k．從而能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³-2ax²+ax，
∴f′（x）=3ax²-4ax+a=a（3x-1）（x-1），
由f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函數(shù)的減區(qū)間為（

1

3

，1）．
∴f（x）_極大值=f（

1

3

）=

1

3

a(

1

3

-1)2=

8

27

，解得a=2．
∴f（x）=2x（x-1）²．
當a＜0時，當a＞0時，由f′（x）＜0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＞0，得

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的減區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函數(shù)的增區(qū)間為（

1

3

，1），
∴f（x）_極大值=f（1）=0≠

8

27

，不成立．
綜上所述，f（x）=2x（x-1）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x（x-1）²．
f′（x）=6x²-8x+2=2（3x-1）（x-1），
由f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜

1

3

或x＞1；由f′（x）＜0，得

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）；
函數(shù)的減區(qū)間為（

1

3

，1）．
又f（0）=0，f（1）=0，f（

1

3

）=

8

27

，f（2）=4，
∴f（x）_最大值=f（2）=4．
∵對于任意的x∈[0，2]都有f（x）＜k²-3k成立，
∴f（x）_最大值=f（2）=4＜k²-3k．
解得k＜-1或k＞4．
∴實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1）∪（4，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．