Question

10．設P為有公共焦點F₁，F(xiàn)₂的橢圓C₁與雙曲線C₂的一個交點，且PF₁⊥PF₂，橢圓C₁的離心率為e₁，雙曲線C₂的離心率為e₂，若e₁=3e₂，則e₁=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用圓錐曲線定義及勾股定理可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²=b₂²，然后結合隱含條件列式求得$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，再由e₁=3e₂即可求得e₁．

解答 解：如圖，由橢圓定義及勾股定理得，
$\left\{\begin{array}{l}{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2{a}_{1}}\\{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₁²，
∵e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，∴a₁=$\frac{c}{{e}_{1}}$，
∴b₁²=a₁²-c²=c²（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}-1$），
同理可得${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=b₂²，
∵e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$，∴a₂=$\frac{c}{{e}_{2}}$，
∴b₂²=c²-a₂²=c²（1-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$），
∴c²（$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}$-1）=c²（1-$\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}$），
即$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{e}_{2}}^{2}}=2$，
∵e₁=3e₂，
∴e₁=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的簡單性質，利用三角形面積相等是解答該題的關鍵，屬于中檔題．