Question

橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過點（

2

，

3

3

）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）直線l與橢圓M交于A，B兩點，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點（0，-

1

2

），求△AOB（O為原點）面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意，橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過點（

2

，

3

3

），建立方程組，可求得a，b，從而可得橢圓M的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依題意，直線AB有斜率，可分直線AB的斜率k=0與直線AB的斜率k≠0討論，利用弦長公式，再結(jié)合基本不等式即可求得各自情況下S_△AOB的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，且過點（

2

，

3

3

），
∴

a2-b2 a2 = 2 3 2 a2 + 1 3 b2 =1

，
∴a²=3，b²=1，
∴橢圓M的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵AB的垂直平分線經(jīng)過點（0，-

1

2

），顯然直線AB有斜率，
當(dāng)直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線為y軸，則x₁=-x₂，y₁=y₂，
∴S_△AOB=

1

2

|2x₁||y₁|=|x₁||y₁|=

1 3 x12(1-x12)

，
∵

x12(3-x12)

≤

x12+(3-x12)

2

=

3

2

，
∴S_△AOB≤

3

2

，當(dāng)且僅不當(dāng)|x₁|=

6

2

時，S_△AOB取得最大值為

3

2

；
當(dāng)直線AB的斜率不為0時，則設(shè)AB的方程為y=kx+t，
與橢圓方程聯(lián)立，得到（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
當(dāng)△=4（9k²+3-3t²）＞0，即3k²+1＞t²①，方程有兩個不同的實數(shù)解；
又x₁+x₂=

-6kt

3k2+1

，
∴

x1+x2

2

=-

3kt

3k2+1

∴

y1+y2

2

=

t

3k2+1

，
又

y1+y2 2 + 1 2

0- x1+x2 2

=-

1

k

，化簡得到3k²+1=4t②
代入①，得到0＜t＜4，…10分
又原點到直線的距離為d=

|t|

k2+1

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB||d|=

1

2

•

|t|

k2+1

•

1+k2

•

4(9k2+3-3t2)

3k2+1

=

1

4

3(4t-t2)

∵0＜t＜4，所以當(dāng)t=2時，即k=±

7 3

時，S_△AOB取得最大值為

3

2

．
綜上，S_△AOB取得最大值為

3

2

．

點評：本題考查橢圓的定義及其性質(zhì)，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，直線方程以及韋達定理的應(yīng)用．難度比較大，解題需要一定的運算能力以及分析問題解決問題的能力．