Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍；

（3）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）極小值，沒有極大值； （2）； （3）2 .

【解析】

（1）直接進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行極值求解

（2）由于參數(shù)的存在，故需對(duì)進(jìn)行分類討論，時(shí)與題意不符，舍去，對(duì)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)求解，通過增減性進(jìn)行辨析，當(dāng)時(shí)取到極大值，此時(shí)需要判斷函數(shù)在的左右兩側(cè)存在函數(shù)值小于零的點(diǎn)，進(jìn)而得證

（3）令，先求導(dǎo)，再根據(jù)恒成立問題求解參數(shù)

（1），令，得，

		極小值

所以有極小值，沒有極大值；

（2），

①時(shí)，，在單調(diào)遞增，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，這與題意不符；

②，令，得，

		極大值

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，得，

，，又在上單調(diào)，且圖象連續(xù)不間斷，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；

，

，所以在單調(diào)減，所以，

所以，，，又在上單調(diào)，且圖象連續(xù)不間斷，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上，實(shí)數(shù)取值范圍為；

（3）記

，令，

所以， ，

①時(shí)，，在上單調(diào)增，所以，符合題意；

②時(shí)，，，又在上單調(diào)增，

所以，，使得

		極小值

則當(dāng)時(shí)，，這與恒成立不符，

綜上，實(shí)數(shù)的最大值為2.