Question

給定正數(shù)a，b，且a＜b，設(shè)A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*．
（1）比較A₁，A₂，A₃的大小；
（2）由（1）猜想數(shù)列{A_n}的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*，正數(shù)a＜b，可求得A₁，A₂，A₃，分別作差比較即可；
（2）由（1）可猜想數(shù)列{A_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，再對(duì)A_n+1與A_n作差A(yù)_n+1-A_n，判斷即可．

解答： 解：（1）∵A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*．
∴A₁=

a+b

2

，
A₂=

a+2b

1+2

=

a+2b

3

，
A₃=

a+3b

4

，
又a＜b，
∴A₁-A₂=

a+b

2

-

a+2b

3

=

a-b

6

＜0，即A₁＜A₂；
同理可得，A₂-A₃=

a-b

12

＜0，即A₂＜A₃；
∴A₁＜A₂＜A₃；
（2）由（1）可猜想數(shù)列{A_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．
∵A_n+1-A_n=

a+(n+1)b

1+(n+1)

-

a+nb

1+n

=

(n+1)[a+(n+1)b]-(n+2)(a+nb)

(n+2)(n+1)

=

b-a

(n+2)(n+1)

＞0，
∴A_n+1＞A_n，
即數(shù)列{A_n}為單調(diào)遞增數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，著重考查數(shù)列的函數(shù)特性，突出考查作差法的應(yīng)用，屬于中檔題．