Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f(x)=lnx+

a

x

的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）對(duì)a進(jìn)行分類討論，分別求出各種情況下的函數(shù)在[1，e]上的最小值令其為

3

2

解方程求得a的值

解答：解：函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

的定義域?yàn)椋?，+∞），（1分）
f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函數(shù)在其定義域（0，+∞）上是單調(diào)遞增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情況討論：
1⁰當(dāng)a＜1時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數(shù)在[1，e]上的最小值是

3

2

相矛盾；
2⁰當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，e]單調(diào)遞增，其最小值為f（1）=1，同樣與最小值是

3

2

相矛盾；（7分）
3⁰當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，
在（a，e]上有f'（x）＞0，單調(diào)遞增，
所以，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=lna+1，由lna+1=

3

2

，得a=

e

．
4⁰當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，單調(diào)遞減，
其最小值為f（e）=225，還與最小值是

3

2

相矛盾；
5⁰當(dāng)a＞e時(shí)，顯然函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)=1+

a

e

＞2，仍與最小值是

3

2

相矛盾；（12分）
綜上所述，a的值為

e

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題，應(yīng)用層數(shù)證明單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要運(yùn)用．