Question

2．已知等差數(shù)列{b_n}和各項都是正數(shù)的數(shù)列{a_n}，且a₁=b₁=1，b₂+b₄=10，滿足a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0
（1）求{a_n}和{b_n}通項公式；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{a_n}+{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由已知得到等差數(shù)列{b_n}的公差的方程解之；結(jié)合a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，得到（a_n+1）a_n=2a_n+1（a_n+1），數(shù)列{a_n}是以1為首項$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，得到通項公式．
（2）首項得到數(shù)列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法求和．

解答 解：（1）因為等差數(shù)列{b_n}a₁=b₁=1，b₂+b₄=10，滿足a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，
所以2b₁+4d=10，解得d=2，所以b_n=2n-1；
由a_n²-2a_na_n+1+a_n-2a_n+1=0，得到（a_n+1）a_n=2a_n+1（a_n+1），
數(shù)列{a_n}各項都是正數(shù)，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，所以a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{a_n}+{b_n}$=2^n-1+2n-1，
所以數(shù)列{c_n}的前n項和${S}_{n}=（{2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}）$+2（1+2+3+…+n）-n
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}+2×\frac{n（n+1）}{2}-n$=2ⁿ+n²-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式的求法以及利用錯位相減法對數(shù)列求和；屬于經(jīng)�？疾轭}型．