Question

已知點(diǎn)E（4cosα，0），F(xiàn)（0，4sinα）（α∈R）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，點(diǎn)P形成的軌跡π與x軸交于點(diǎn)A，B（A點(diǎn)在左側(cè)），與y軸正半軸交與點(diǎn)C．
（1）求P點(diǎn)的軌跡π的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M是軌跡π上任意一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線(xiàn)CM交x軸于點(diǎn)D⊥，直線(xiàn)BM交直線(xiàn)AC于點(diǎn)N．
①若D點(diǎn)坐標(biāo)為（2

3

，0），求線(xiàn)段CM的長(zhǎng)；
②求證：2k_ND-k_MB為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）求出P（2cosα，2sinα）（α∈R），消元可得P點(diǎn)的軌跡π的方程；
（2）①求出CM的方程，圓心到直線(xiàn)CM的距離，即可求弦CM的長(zhǎng)；
②確定N，D的坐標(biāo)，表示出2k_ND-k_MB，即可證明2k_ND-k_MB為定值．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)E（4cosα，0），F(xiàn)（0，4sinα）（α∈R）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，
∴P（2cosα，2sinα）（α∈R），
∴P點(diǎn)的軌跡π的方程為x²+y²=4；
（2）①CM：x+

3

y-2

3

=0，圓心到直線(xiàn)CM的距離d=

2 3

1+3

=

3

，
∴弦CM的長(zhǎng)為2

4-3

=2   
②設(shè)M（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4，x₀≠±2，x₀≠0，直線(xiàn)CM：y=

y0-2

x0

x+2，
則D（

2x0

2-y0

，0），直線(xiàn)BM：y=

y0

x0-2

（x-2），
又l_AC：y=x+2AC與BM交點(diǎn)N（

4-2x0-2y0

x0-y0-2

，

-4y0

x0-y0-2

），k_ND=

y0-2

x0+y0-2

，
所以2k_ND-k_MB=2•

y0-2

x0+y0-2

-

y0

x0-2

=

x0y0-2y0-4x0+8-y02

8-y02-4x0+x0y0-2y0

=1為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程、圓的方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．