Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²（x-a），其中a為正實數(shù)．
（1）當x∈（0，1）時函數(shù)f（x）的圖象上任意一點P處的切線斜率為k，若k≥-1，求a的范圍；
（2）若a=-2，求曲線過點Q（-1，f（-1））的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得當x∈（0，1）時，3x²-2ax≥-1恒成立，運用參數(shù)分離和基本不等式即可得到右邊的最小值，即可得到a的范圍；
（2）設出切點，求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程得到所求切線的方程，代入Q（-1，1），解方程可得切點，進而得到切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²（x-a）的導數(shù)為
f′（x）=2x（x-a）+x²=3x²-2ax，
由題意可得當x∈（0，1）時，3x²-2ax≥-1恒成立，
即有2a≤3x+$\frac{1}{x}$，
由3x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{3x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當3x=$\frac{1}{x}$即有x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$∈（0，1）時，取得等號．
即有2a≤2$\sqrt{3}$，
則0＜a≤$\sqrt{3}$，
即有a的取值范圍是（0，$\sqrt{3}$]．
（2）函數(shù)f（x）=x²（x+2）的導數(shù)為
f′（x）=2x（x+2）+x²=3x²+4x，
設切點為（m，n），則n=m³+2m²，
f（x）在x=m處的斜率為3m²+4m，
即有切線方程為y-n=（3m²+4m）（x-m），
代入Q（-1，1），可得1-m³-2m²=（3m²+4m）（-1-m），
整理可得（m+1）²（2m+1）=0，
解得m=-1或-$\frac{1}{2}$，
即有所求切線的方程為y-1=-（x-1）或y-1=-$\frac{5}{4}$（x+!），
即為y=-x或y=-$\frac{5}{4}$x-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，同時考查不等式恒成立問題轉化為求最值，運用基本不等式和正確求導是解題的關鍵．