Question

某俱樂部舉行迎圣誕活動，每位會員交50元活動費，可享受20元的消費，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點數之和為12點獲一等獎，獎價值為a元的獎品；點數之和為11或10點獲二等獎，獎價值為100元的獎品；點數之和為9或8點獲三等獎，獎價值為30元的獎品；點數之和小于8點的不得獎．求：
（Ⅰ）同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率；
（Ⅱ）如該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設擲兩顆正方體骰子所得的點數記為（x，y），
其中1≤x，y≤6，
則獲一等獎只有（6，6）一種可能，
其概率為：； …（2分）
獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，
其概率為：； …（5分）
設事件A表示“同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎”，
則有：P（A）=，
故同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率為．…（6分）
（Ⅱ）設俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元，
則ξ的可能取值為30-a，-70，0，30，
P（ξ=30-a）=，
P（ξ=-70）=，
Pξ=0）=，
P（ξ=30）=．
其分布列為：

ξ	30-a	-70	0	30
p

…（7分）
則：Eξ=； …（12分）
由Eξ=0得：a=310，即一等獎可設價值為310元的獎品．
故該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，a的值就為310元．…（13分）
分析：（Ⅰ）設擲兩顆正方體骰子所得的點數記為（x，y），其中1≤x，y≤6，則獲一等獎只有（6，6）一種可能，獲二等獎共有（6，5）、（5，6）、（4，6）、（6，4）、（5，5）共5種可能，由此能求出同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率．
（Ⅱ）設俱樂部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元，則ξ的可能取值為30-a，-70，0，30，分別求出P（ξ=30-a），P（ξ=-70），P（ξ=0），P（ξ=30）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．