Question

若直角三角形ABC所在平面外一點P到點A，B，C等距離，P到面ABC的距離為b，且一直角邊長為2a，則P到另一直角邊的距離為

a2+b2

．

Answer 1

分析：利用射影定理，可知，若三角形所在平面外一點到三角形的三個定點距離相等，則該點在平面內的射影為三角形的外心，又因為三角形ABC為直角三角形，外心位于斜邊中點，利用三垂線定理和中位線的性質，可得若連接BC中點D與O點，則直角三角形POD的斜邊為所求，在解直角三角形即可．

解答：解：如圖，設直角三角形ABC中，∠B為直角，AB=2a，
設P點在平面ABC中的攝影為點O，∵點P到點A，B，C等距離，∴OA=OB=OC
又∵△ABC為直角三角形，∴O為斜邊AC的中點，PO=b
取BC中點D，連接DO，則DO∥AB，且，DO=

1

2

AB，∴DO=a，且DO⊥AB，
連接PD，
∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AB，又∵DO⊥AB，∴AB⊥PD
∴PD為P點到BC的即為所求．
在Rt△POD中，PD²=PO²+DO²，∴PD=

a2+b2

故答案為：

a2+b2

．

點評：本題主要在立體圖形中考查了射影定理，三垂線定理的綜合應用，綜合考查了學生的理解力，空間想象力，以及計算能力．